Геометрия 7 класс перпендикулярные прямые видео

Перпендикулярные прямые.

Урок 5. Геометрия 7 класс

Конспект урока «Перпендикулярные прямые.»

Прежде, чем говорить о перпендикулярных прямых, выясним, какие углы называют смежными, а какие вертикальными.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие стороны этих углов являются противоположными лучами.

Например, углы АОВ и ВОС являются смежными:

Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый угол, то АОВ+ВОС=АОС, градусная мера которого равна 180 градусам.

Сумма смежных углов равна 180 градусам.

Вертикальными называются углы, если они имеют общую вершину и стороны одного угла являются лучами, противоположными сторонам другого.

Угол 2 является смежным с углом 1 и с углом 3.

А по свойству смежных углов:

Из этих двух равенств получаем:

Таким образом, получаем:

Аналогично можем доказать, что:

Следовательно, можно сказать, что вертикальные углы равны.

Две прямые называют перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Например, прямые АВ и СD образуют при пересечении четыре прямых угла, а значит, они являются взаимно перпендикулярными:

Перпендикулярность прямых АВ и CD обозначается следующим образом:

Отметим, что две прямые перпендикулярные к третьей не пересекаются.

Докажем это. Возьмём прямые АВ и перпендикулярные прямой СD:

Перегнём рисунок по прямой СD так, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы равны, то луч СА наложится на луч СВ, а луч D наложится на луч D.

Если предположить, что АВ и пересекаются в некоторой точке О, то эта точка наложится на точку , которая также лежит на этих прямых. Тогда мы получим, что через две точки О и проходят две прямые АВ и , а это невозможно.

Следовательно, наше предположение неверно, а значит, прямые АВ и не пересекаются.

Для проведения перпендикулярных прямых используют чертёжный треугольник с линейкой.

А вот, чтобы построить прямой угол на местности, можно воспользоваться простейшим прибором, который называют экер. Данный прибор представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укреплённых на треножнике. На концах брусков есть гвоздики, которые расположены так, что прямые проходящие через них взаимно перпендикулярны.

Чтобы построить прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился над точкой О, а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Затем провешивают линию по направлению другого бруска (прямая ОВ). В результате получается прямой угол АОВ.

В геодезии (в переводе с греческого «геодезия» означает «землеразделение»), науке, об измерениях на земной поверхности и в околоземном пространстве, для построения прямых углов используют наиболее совершенные приборы. Одним из таких является теодолит.

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Перпендикулярные прямые.
• Способы построения прямых углов на местности.
• Экер.
• Теодолит.
• Свойство перпендикулярных прямых.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.

Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.

Введём понятие «перпендикулярные прямые».

Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.

∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),

∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),

∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),

∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Обозначение перпендикулярных прямых:

Построим перпендикулярные прямые.

Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.

Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рассмотрим прямые АА₁ и ВВ₁, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА₁, аналогично, луч QB наложится на луч QB₁.

Предположим, что прямые АА₁ и ВВ₁пересекаются в точке М.

Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М₁.

Через точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ один не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.

Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.

Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.

Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.

Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).

Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.

1. Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:

2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.

Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°

По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.

∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Перпендикулярные прямые.
• Способы построения прямых углов на местности.
• Экер.
• Теодолит.
• Свойство перпендикулярных прямых.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Ранее вы уже познакомились с прямыми и выяснили, что они могут пересекаться или не пересекаться.

Сегодня мы продолжим изучать пересекающиеся прямые, которые являются перпендикулярными.

Введём понятие «перпендикулярные прямые».

Для этого рассмотрим две пересекающиеся прямые а и b. Они образуют четыре неразвёрнутых угла. Если один из этих углов будет прямой, то остальные тоже будут прямые, т.к.

∠1 и ∠2 – смежные (по определению смежных углов),

∠1 +∠2=180°(по свойству смежных углов),

∠1 =∠ 3 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов),

∠2 =∠ 4 = 90° – вертикальные (по свойству вертикальных углов).

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют при пересечении четыре прямых угла.

Обозначение перпендикулярных прямых:

Построим перпендикулярные прямые.

Для этого воспользуемся чертёжным угольником и линейкой, как изображено на рисунке.

Рассмотрим свойство перпендикулярных прямых.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Рассмотрим прямые АА₁ и ВВ₁, перпендикулярные к прямой РQ. Мысленно перегнем плоскость по прямой РQтак, чтобы верхняя часть рисунка наложилась на нижнюю. Так как прямые углы 1 и 2 равны, то луч РА наложится на луч РА₁, аналогично, луч QB наложится на луч QB₁.

Предположим, что прямые АА₁ и ВВ₁пересекаются в точке М.

Мысленно перегнем плоскость по прямой РQ, точка М накладывается на точку М₁.

Через точки М и М₁ проходят две прямые АА₁ и ВВ₁, что неверно. Следовательно, предположение, что прямые АА₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых), следовательно, прямые АА₁ и ВВ₁ один не пересекаются. Что и требовалось доказать.

Данный метод доказательства называют методом от противного. Суть этого метода заключается в том, что предполагают противоположное тому, что требуется доказать. Исходя из предположения, путём рассуждений приходят к противоречию.

Этим методом можно воспользоваться для доказательства теоремыо единственности перпендикуляра к прямой.

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести не более одного перпендикуляра к этой прямой.

Доказательство. Пустьточка не лежит на данной прямой a. Докажем, что из точки A нельзя провести два перпендикуляра к прямой a. Предположим, что из точки A можно провести два перпендикуляра AH и AK к прямой a. Мысленно перегнем плоскость по прямойaтак, чтобы полуплоскость с границей a, содержащая точку A, наложилась на другую полуплоскость. При этом точки H и K остаются на месте, точка A накладывается на некоторую точку B. Получается, что отрезки AH и AK накладываются на отрезки BH и BK.

Углы AHB и AKB – развернутые, так как каждый из них равен сумме двух прямых углов. Поэтому точки A, H и B лежат на одной прямой, и также точки A, K и B лежат на одной прямой.

Таким образом, мы получили, что через точки A и B проходят две прямые AH и AK. Но это невозможно (по аксиоме о взаимном расположении точек и прямых). Следовательно, из точки A можно провести единственный перпендикуляр к прямой а.

Итак, сегодня получили представление о том, что такое перпендикулярные прямые, рассмотрели свойства перпендикулярных прямых, научились строить и обозначать перпендикулярные прямые, узнали о методе доказательства от противного.

Рассмотрим более сложный метод построения прямых углов на местности.

Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, например, теодолит (в геодезии).

Но самый простой прибор для построения прямых углов на местности – это экер. Он состоит из двух брусков расположенных под углом 90° и укреплённых на треножнике. На концах брусков вбиты гвоздитак, что прямые, проходящие через них, перпендикулярны. Рассмотрим, как с его помощью построить прямые углы. На заданном луче, в нашем случае ОА, устанавливают экер так, что отвес находится точно над точкойО, а направление одного из брусков совпадает с лучом ОА, совмещение помогает осуществить веха, поставленная на луче ОА. Далее провешивают прямую с помощью другого бруска, получается ∠АОВ =90°.

1. Прямые СА и ВD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. Луч ОК – проведён из вершины прямого угла АОВ, так что∠КОВ = 52°. Найдите градусную меру ∠АОК.

Решение: нарисуем рисунок, исходя из условия задачи:

2. Прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, найдите ∠МОВ, если ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD= ∠МОВ.

Решение. Т.к. прямые СО и ОD взаимно перпендикулярны, то ∠СОD = 90°

По условию задачи, ∠МОА = ∠СОА = 25°, ∠ВОD = ∠МОВ.

∠ СОD = ∠МОА + ∠СОА + ∠ВОD + ∠МОВ = 25° + 25° +2·∠МОВ = 50° + 2 · ∠МОВ = 90°

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ 7 класс геометрия Атанасян

Для просмотра онлайн кликните на видео ⤵

7 класс, 12 урок, Перпендикулярные прямые Подробнее

Тема ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ Подробнее

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ задачи 7 класс геометрия Атанасян Подробнее

Уроки.Математика. 6 Класс. Перпендикулярные прямые и параллельные прямые. Подробнее

Математика | Параллельные прямые Подробнее

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми Подробнее

Геометрия 7 Смежные и вертикальные углы Перпендикулярные прямые Подробнее

Перпендикулярные прямые | Геометрия 7-9 класс #13 | Инфоурок Подробнее

Перпендикулярные прямые. Теорема о двух перпендикулярных прямых третьей. Подробнее

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых Подробнее

Геометрия 7 класс : Перпендикулярные прямые и перпендикуляр к прямой Подробнее

15 ПРАВИЛ ОТЛИЧНИКА// Как начать учиться?! Подробнее

Геометрия 7. Урок 10 — Построение циркулем и линейкой Подробнее

Геометрия 7. Урок 5 — Смежные и вертикальные углы — теория Подробнее

Математика| Геометрия 7 класса в одной задаче Подробнее

Геометрия 7. Урок 8 — Признаки равенства треугольников. Подробнее

Математика | КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? Подробнее

ЧИТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ, три важных условия для решения любой задачи по геометрии Подробнее

7 класс. Глава3 — Задачи на построение. Построение перпендикулярных прямых Подробнее