Свойства равнобедренного треугольника 7 класс видео

Свойства равнобедренного треугольника

Урок 9. Геометрия 7 класс

Конспект урока «Свойства равнобедренного треугольника»

Среди множества треугольников выделяют те, которые имеют особые свойства. К таким треугольникам можно отнести, например, равнобедренные треугольники.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Возьмём треугольник АВС, у которого стороны АВ и АС равны.

Эти стороны называются боковыми сторонами. Третья сторона ВС называется основанием равнобедренного треугольника. Точка А называется вершиной равнобедренного треугольника, а точки В и С — вершинами при его основании. Угол А называется углом при вершине, а углы В и С — углами при основании.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть АВС равнобедренный треугольник, боковые стороны которого АВ и АС. Докажем, что ∠В=∠С.

Пусть АF — биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, ∠ВAF и ∠СAF — равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.

Из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠В=∠С.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой.

Пусть треугольник АВС равнобедренный, у которого АВ=АС. Пусть АF — биссектриса этого треугольника.

Треугольники АВF и АСF равны по первому признаку, так как сторона AF у них общая, стороны АВ и АС равны по условию, углы ВAF и СAF равны, так как АF — биссектриса треугольника АВС.

Из равенства треугольников следует, что BF равняется CF, то есть F — середина стороны ВС, а следовательно, АF — медиана треугольника АВС.

Также из равенства треугольников АВF и АСF следует, что ∠AFB=∠AFC. А так как эти углы смежные и равные, то они прямые. А это означает, что AF является и высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

1. Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

АВСD — квадрат. Точка Е — середина стороны СD. Доказать, что треугольник ВЕА является равнобедренным.

Рассмотрим треугольники ВСЕ и АDE.

У них ВС=AD, так как все стороны квадрата равны, и СЕ=DE, так как точка Е — середина стороны CD. А ∠ВСЕ=∠ADE, так как все углы квадрата — прямые. Значит, ∆ ВСЕ = ∆ АDE по первому признаку равенства треугольников. То есть у них соответственные стороны равны. Следовательно, ЕВ=ЕА.

Получаем, что треугольник ВЕА имеет две равные стороны ЕВ и ЕА, а значит, он равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике АВС, где АВ=ВС, Р=20 см., а основание больше боковой стороны на 2 см. Найти стороны треугольника.

Пусть АВ=ВС=х см., тогда сторона АС=(х+2) см. Получаем:

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

1. Свойства равнобедренного треугольника.
2. Признаки равнобедренного треугольника.
3. Формулы равнобедренного треугольника:
   • формулы длины стороны;
   • формулы длины равных сторон;
   • формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

• Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
• Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Доказательство теоремы:

• Дан Δ ABC.
• Из точки В проведем высоту BD.
• Треугольник разделился на Δ ABD и ΔCBD.Эти треугольники равны, т.к. гипотенузы и общий катет у них равны (теорема Пифагора).
• Прямые АС и BD называются перпендикуляром.
• В Δ ABDи ΔBCD∠ BАD = ∠ BСD(из Теоремы 1).
• АВ = ВС — боковые стороны равны.
• Стороны АD = СD, т.к. точка Dотрезок делит пополам.
• Следовательно Δ ABD =ΔBCD.
• Биссектриса, высота и медиана это один отрезок — BD

Вывод:

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
3. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

• Теорема 5. Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

• Пусть треугольники не равны (а то треугольники были равны по первому признаку).
• Пусть Δ A₁B₁C₂ = Δ ABC, у которого вершина C₂ лежит в одной полуплоскости с вершиной C₁ относительно прямой A₁B₁. По предположению вершины C₁ и C₂ не совпадают. Пусть D – середина отрезка C₁C₂. Δ A₁C₁C₂ и Δ B₁C₁C₂ – равнобедренные с общим основанием C₁C₂. Поэтому их медианы A₁D и B₁D являются высотами. Значит, прямые A₁D и B₁D перпендикулярны прямой C₁C₂. A₁D и B₁D имеют разные точки A₁ и B₁, следовательно, не совпадают. Но через точку D прямой C₁C₂ можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.
• Отсюда пришли к противоречию и теорему доказали.

Признаки равнобедренного треугольника

1. Если в треугольнике два угла равны.
2. Сумма углов треугольника 180°.
3. Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой.
4. Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой.
5. Если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания — b):

• b = 2a sin( beta /2)= a sqrt
• b = 2a cos alpha

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

• L — высота=биссектриса=медиана
• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• a — углы при основании
• b — угол образованный равными сторонами

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

• b — сторона (основание)
• а — равные стороны
• h — высота

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Свойства равнобедренного треугольника 7 класс видео

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

• Главная
• 7-Класс
• Геометрия
• Видеоурок «Свойства равнобедренного треугольника»

Треугольник — одна из самых распространенных фигур в геометрии. Вениамин Фёдорович Каган, русский математик ХХ века, однажды сказал: «Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике…» действительно одна из важнейших теорем геометрии гласит

Теорема: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Докажем эту теорему. Для этого возьмем произвольный треугольник АВС. Через вершину В проведем прямую а параллельную стороне треугольника АС. Пронумеруем получившиеся углы: 1,2,3 номера углов при вершинах А, В и С соответственно, углы 4 и 5 образованы прямой а и сторонами АВ и ВС треугольника. Первый и четвертый углы являются накрест лежащими при пересечении параллельных прямых АС и а секущей АВ. Согласно теореме о накрест лежащих углах, они равны, то есть первый угол равен четвертому. Аналогично третий угол равен пятому, так как являются накрест лежащими при пересечении параллельных а и АС секущей ВС.

Сумма углов 4, 2 и 5 представляют собой развернутый угол с вершиной В, а он, как известно, равен 180 градусам. Тогда, исходя из равенства углов 1 и 4, 3 и 5, получаем, что сумма первого, второго и третьего углов равна 180 градусам. То есть угол А плюс угол В плюс угол С равно 180 градусов.

Что и требовалось доказать.

А теперь продлим сторону АС треугольника АВС и рассмотрим смежный угол угла С, такой угол называется – внешним углом треугольника.

Поскольку смежные углы составляют развернутый угол, их сумма равна 180 градусам, тогда внешний угол треугольника равен 180 градусов минус угол С. А нам теперь известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, и из этой теоремы следует, что 180 градусов минус угол С — это сумма углов А и В. Значит, величина внешнего угла треугольника равна сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Представим, что в треугольнике один угол 90 градусов, тогда, согласно теореме о сумме углов в треугольнике, сумма оставшихся двух углов должна быть равна 180 — 90 = 90 градусам, из чего следует, что оставшиеся углы острые. Если же в треугольнике есть тупой угол, то есть больше 90 градусов, то оставшиеся два углы в сумме должны быть меньше 90 градусов и, значит, также будут острыми. Таким образом, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. Поэтому в зависимости от вида угла рассматриваемый треугольник может быть:тупоугольным, если среди его углов есть тупой угол, остроугольным, если все три угла треугольника острые, или прямоугольным, если в треугольнике есть угол, равный 90 градусам.

В прямоугольном треугольнике стороны, расположенные друг к другу под прямым углом, называют катетами, а сторону, расположенную напротив угла в 90 градусов, гипотенузой.

Итак, сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

Угол смежный с углом при вершине треугольника называется внешним углом треугольника и равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним.

Треугольники могут быть трёх видов: остроугольные, тупоугольные и прямоугольные.

Свойства равнобедренного треугольника
презентация урока для интерактивной доски по геометрии (7 класс)

В презентации вы увидите: 1) Свойства равнобедренного треугольника; 2) Доказательства этих свойств; 3) Задания по вариатнтам и их решения. ПРИЯТНОГО ПРОСМОТРА. 🙂

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

ТРЕУГОЛЬНИК, все стороны которого равны, называется РАВНОСТОРОННИМ

А В С АВ, ВС — боковые стороны равнобедренного треугольника А, С – углы при основании равнобедренного треугольника АС — основание равнобедренного треугольника В – угол при вершине равнобедренного треугольника Треугольник называется равнобедренным , если две его стороны равны

Как называется отрезок АМ на рисунке? Сформулировать определение медианы треугольника: Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны АМ – медиана ВМ = МС В М С А

Как называется отрезок ВК на рисунке? Сформулировать определение биссектрисы треугольника: Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. ВК — биссектриса  АВК =  СВК A B C K

Как называется отрезок СН на рисунке? Сформулировать определение высоты треугольника: Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. СН — высота СН  АВ A B C H C A B H

Назовите основание и боковые стороны данных треугольников 1 ) Р М N D C E 2) O S T 3 ) 4 ) K M L 5) H F C

Теорема 1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Дано:  АВС – равнобедренный, АС – основание Доказать:  А =  С A B C

Доказательство: Проведём В D – биссектрису  АВС 2. Рассмотрим  АВ D и  СВ D АВ=ВС, В D -общая,  АВ D =  СВ D , значит  АВ D =  СВ D ( по двум сторонам и углу между ними) 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы  А=  С Теорема доказана A B C D

Теорема 2 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой Дано:  АВС –равнобедренный, АС – основание, В D – биссектриса. Доказать: 1. В D – медиана 2. В D – высота A B C D

Доказательство: Рассмотрим  АВ D и  СВ D АВ=ВС, В D -общая,  АВ D =  СВ D , значит  АВ D =  СВ D ( по двум сторонам и углу между ними) 2. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны А D=DC , значит D – середина АС, следовательно В D – медиана 3. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы , т.е.  3=  4 и  3 и  4 – смежные, значит  3 =  4 = 90°, следовательно В D  АС , т.е. В D – высота Теорема доказана A B C D 3 4

40° 70° A B C Дано: ∆ MNP — равнобедренный, N К – биссектриса N К = 5 см, MP = 12 см Найти : S∆MNP Дано: ∆АВС — равнобедренный, ВМ – медиана ВМ = 7 см, АС = 18 см Найти : S∆ АВС М N P A B C M М N P K Дано: ∆АВС — равнобедренный,

40° 70° A B C Дано: ∆ MNP — равнобедренный, N К – биссектриса N К = 5 см, MP = 12 см Найти : S∆MNP Дано: ∆АВС — равнобедренный, ВМ – медиана ВМ = 7 см, АС = 18 см Найти : S∆ АВС М N P A B C M М N P K Дано: ∆АВС — равнобедренный,

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

С помощью этой презентации можно отработать на уроке определение равнобедренного треугольника, виды треугольников, доказательство теоремы о том, что в равнобедренном треугольнике углы при основании ра.

Конспект урока и презентация к уроку геометрии в 7 классе «Свойства равнобедренного треугольника».

Методические материалы содержат конспект к урокам по геометрии в 7 классе по теме «Медианы, биссектрисы, высоты трекгольника. Свойства равнобедренного треугольника».

Обобщающее повторение по теме: «Свойства равнобедренного треугольника».Закрепление знаний свойств равнобедренного треугольника в процессе решения задач.

Свойства равнобедренного треугольника.

При реализации ФГОС вся учебная деятельность должна строиться на основе деятельностного подхода, цель которого заключается в развитии личности учащихся на основе освоения универсальных способов деятел.

Равнобедренный треугольник.Свойства равнобедренного треугольника.